Dieser Audiobeitrag wird von der Universität ErlangenNürnberg präsentiert.

Ich heiße sie auch sehr herzlich willkommen. Besonders freut es mich einige ehemalige Studierende

hier zu sehen. Kollegen, auch meinen Cellonelehrer hier unter uns zu haben.

Das freut mich ganz besonders. Ich weiß nicht, wer im Dezember schon dabei war beim Vortrag

dabei war beim Vortrag über Fourier. Das ist sozusagen die Fortsetzung des Vortrags über

Fourier und wie es halt üblich ist, gibt es in den ersten zehn Minuten einer neuen Stunde

eine Zusammenfassung von dem, was beim letzten Mal war. Insofern wird sich da ein bisschen

was überschneiden, aber Sie werden sehen. Okay, Sie wissen, eine Tonleiter hat sieben

Töne, da acht ist dann die Oktav und da sind fünf Ganz-Tonschritte und zwei Halbtonschritte

drin und wenn man dann die Ganz-Töne nochmal unterteilt in Halbtöne gibt es also zwölf

Töne innerhalb einer Oktav und es gibt Akkorde, die klingen wohl

oder es gibt auch Akkorde, die klingen so

und die Frage lautet, warum ist das eigentlich alles so und nicht ganz anders oder was hat

das mit Mathematik zu tun? Um die Frage soll es heute letztlich gehen. Ja, was ist ein Ton?

Ein Ton ist eine periodische Schwankung von Luftdruck und Luftteilchen und wir haben einen großen

Gleichdruck, der auf uns lastet und wenn Parameter rauf und runter geht, geht also hier der

Gleichdruck ein bisschen rauf und runter, aber dem überlagen sich ganz gleich vergleichsweise sehr

kleine Schwankungen und das ist der Schall und wie viele Schwingungen wir pro Sekunde haben,

die Frequenz, das gibt die Tonhöhe und welche Form diese Schwingung hat, das gibt die Klangfarbe

und jeder weiß, dass unser Kammerton A zum Stimmen der Instrumente wurde auf 440 Hertz festgelegt,

das heißt alle 2,272 Millisekunden wiederholt sich hier die Kurvenform und das können wir mal kurz

testen, dazu nehmen wir mal einen Ton auf und ich erzeuge dazu mal einen Ton und den wollen wir

aufnehmen. Okay, dann schauen wir uns mal an, was dabei rausgekommen ist. Das hätten wir hier und

das war also jetzt ist das der Verlauf und jetzt müssen wir hier ein bisschen reinzoomen und dann

sehen wir also jetzt hier den Schwingungsverlauf, man sieht, dass also die Lippen sich öffnen,

dann gibt es einen starken Überschwinger und einen und Nachschwinger, so schaut also das hier aus und

hier ist die Zeitachse in Millisekunden aufgetragen. Nun kommen wir also zu Fourier unserem Thema vom

Dezember. Fourier hat 1808 liter geschrieben, sie haben zum ersten mal, dass eine periodische

function aus Summe von Grundschwingungen von Sinus- und Cosinusschwingungen

zusammengesetzt werden kann, mathematisch formuliert, muss man nicht

jeder jetzt verstehen, das ist das Summenzeichen, das ist die Größe der

einzelnen Schwingungen, die Cosinusschwingungen hier mit der

Frequenz f0 und dann zweimal f0, dreimal f0, viermal f0 und hier dazu noch ein

Phasenwinkel. Ich will das an einer periodischen Rechteckfunktion mal kurz

verdeutlichen. Eine periodische Rechnungsfunktion sehen Sie hier. Als

Grundschwingung haben wir hier eine Sinusschwingung mit der gleichen

Frequenz. Das heißt also in der Einheit hier 10. In 10 Zeitschritten ist eine

Schwingungsperiode, somit ist die Frequenz hier einzig. Okay, dann und wenn wir jetzt

eine weitere Schwingung dazunehmen, hier mit der dreifachen Frequenz, dann können

wir also den Anstieg vorne etwas versteilen und in der Mitte den Buckel

etwas eindällen und wir nähern uns so dem Rechteck schon etwas an. Und dann

noch die 5-fache Frequenz und noch die 7-fache und schließlich noch die 9-fache

und in der Summe der Überlagerung, das sind die Einzelntöne und hier in der

Überlagerung sehen wir diese allmähliche Approximation zum Rechteck.

Wir sehen also bezogen auf die reine Cosinusschwingung, Sinusschwingung besteht

eine periodische Funktion schon aus vielen Tönen. In sich ist musikalisch

gesagt schon ein Klang, ein einzelner Ton ist für sich schon ein Klang.

Man kann dann die Anteile, wie groß die einzelnen sind über der Frequenz

darstellen, also die Grundfrequenz zum Beispiel Kammerton A, 440 Hertz, 880

Hertz, 1320 und so weiter. Die 2-fache, 3-fache und das gibt an, wie stark das